冪函式求導

最佳答案為：(x^a)'=ax^(a-1)。

證明：y=x^a

兩邊取對數lny=alnx

兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

y=a^x

兩邊同時取對數：

lny=xlna

兩邊同時對x求導數：

==>y'/y=lna

==>y'=ylna=a^xlna

冪函式：一般的，形如y=x(a為實數)的函式，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常量的函式稱為冪函式。例如函式y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函式。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函式裡，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續性的極為深刻的知識。

冪函式是基本初等函式之一。

一般地，y=xα（α為有理數）的函式，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函式稱為冪函式。例如函式y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0時x≠0）等都是冪函式。

特性：

對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果 ，q和p都是整數，則 ，如果q是奇數，函式的定義域是R;如果q是偶數，函式的定義域是[0,+∞）。

當指數α是負整數時，設α=-k，則 ，顯然x≠0，函式的定義域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

α小於0時，x不等於0；

α的分母為偶數時，x不小於0；

α的分母為奇數時，x取R。