根號3是有理數還是無理數

根號三是無限不迴圈小數，它不是有理數，而是無理數。有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。根號三是無限不迴圈小數，它不是有理數，而是無理數。

無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

證明根號三是無理數

1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2所以3整除p^2，因3是質數，所以3整除p，可設p=3t，則q^2=3t^2，所以3整除q。因此p和q有公約數3，與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數。

2、設x=根號3，則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1，所以p=1或3，q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

3、設x=根號3=p/q(p，q)=1,所以存在整數s，t使ps+qt=1根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾。



根號三是有理數嗎

有理數包括整數和分數，其中分數可化為有限小數或無限迴圈小數。根號三是無限不迴圈小數，它不是有理數，而是無理數。

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不迴圈的數。根號三是無限不迴圈小數，它不是有理數，而是無理數。

無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表示式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

1、假設根號3=p/q(p、q為互質整數）,則p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是質數,所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾,所以根號3是無理數

2、設x=根號3,則有方程x^2=3

假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數）,根據牛頓有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,從而x=1或3,顯然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

3、設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt為整數,矛盾

根號3是有理數還是無理數

根號3是有理數還是無理數？

無限不迴圈小數叫做無理數，開不盡的方根是無理數，所以√3，是無理數。

其它√3，√7，√11…………等等都是。

但無理數不都是開不盡的方根，如π，e也是無理數。無理數也是非比數，不能寫成兩個整數的比。

怎麼判斷根號3是有理數還是無理數？

假設根號3是有理數，設√3=a/b(a,b互質）

所以3*b*b=a*a

所以3為a的約數，設a=3*m

則3*b*b=9*m*m

所以3為a的約數

即3為a、b的公約數

與a,b互質矛盾

所以，根號3不是有理數

有理數這個詞最初源自古希臘，是由古希臘著名的數學家、哲學家畢達哥拉斯最早提出的，後來傳到了西方，明朝的時候經由傳教士傳到了中國，徐光啟當時把它譯為“理”，據說“理”在當時文言文中有“比值”的意思，後又傳到日本，日本學者就把它理解為“道理、理性”。

近代中國又直接沿用了日本的譯法。很大的原因是因為這個詞的英文是“rational number”，rational一般作“合理的、理性的”來講，但是它的詞根ratio是“比率、比例”的意思。