什麼是偏微分方程邊值問題差分方法

物理學中的平衡態或定常態問題，例如彈性膜的平衡、彈性柱的扭轉、定常態熱傳導、電場、磁場、滲流、亞聲速流及不可壓縮無旋流等等，通常都可歸結為橢圓型偏微分方程邊值問題。典型例子是泊松方程

　 　 (1)

的邊值問題。即要求定出未知函式u=u(x，y)，使之在某個區域Ω內滿足(1)，並在區域邊界嬠Ω上滿足一定的邊界條件，通常有如下三類：

第一類： u=φ，

第二類：

第三類：

式中

表示外法嚮導數，φ、g和α是定義在嬠Ω上的已知函式。附加第一類和第二類邊界條件的問題分別稱為狄利克雷問題和馮·諾伊曼問題；有些問題在邊界不同區段滿足不同類的邊界條件，稱為混合邊值問題。

橢圓型邊值問題的求解，只在很特殊情況下才能用解析方法，一般情況下實際有效的途徑是數值方法，差分法是其中一類。

差分法的思想和做法是，把定解區域剖分為網格，在網格結點上以差商代替微商或用某種插值方式，把微分方程化為包含有限個未知數的差分方程組。差分法直觀、簡易、能普遍用於各種型別的微分方程和任意形狀的區域。因為它包含巨大的運算量，所以只在電子計算機問世之後，才得到廣泛的應用和發展。

從微分方程出發的差分化

網格剖分的一種最簡單又常用的做法是取平行於座標軸的直線作為網格線，例如取x=ih，y=jl，h、l為步長，i、j取一切整數，這時網格結點為(ih，ji)。對方程(1)進行差分化、以U表示差分近似解、Uij表示U在網格結點(ih，jl)上的分量。如果(ih，jl)是內結點，即鄰近四個網格結點都在Ω上，則用中心二階差商代替二階微商代入(1)，即得相應的差分方程

　 (2)

對第一類邊值問題，如果邊界結點正好落在嬠Ω上，則取相應的邊界值即可。一般的情況如圖 1

所示，嬠Ω與網格線交於N和E，於是靠近邊界的結點P可利用偏心差商建立差分方程：

式中U(N)、U(E)取邊界值，h1，l1是線段PE、PN 的長度。

對第二、第三類邊值問題，可取Ω外最靠近嬠Ω的一層網格結點為邊界結點，相應的差分方程可建立如下：設邊界結點P及其鄰近的邊界如圖2

所示，過結點P作嬠Ω的法線，它與嬠Ω和網格線分別交於F和Q，用差商

代替F的外法嚮導數

，其中U(Q)利用網格結點W和E上的值作線性插值，即

，

代入第二類、第三類邊界條件，就得到邊界結點P的差分方程。

還可以用其他插值方法作邊界處理。但是，這種對微分方程及其邊界條件分開處理的方法，對自共軛邊值問題，包括現在討論的最簡單的典型例子，所得差分方程組的係數矩陣一般都不具有對稱性。

從積分守恆原理出發的差分化

與平衡態或定常態緊密聯絡的橢圓型邊值問題，在物理上表示某種守恆規律，在數學上表現為某種積分守恆形式。例如與方程(1)等價的積分守恆形式為

(3)

式中D是區域Ω的任一子區域。假設定解區域Ω為多邊形，對Ω作任意三角剖分，然後過三角形的邊作中垂線，如圖3中的虛線所示。對應每個網格結點，都存在一個以中垂線為邊的多邊形。若以每個這樣的多邊形作為(3)中的積分割槽域D，建立網格結點的差分方程。若P是內結點，對應的D如圖4所示，則(3)中左端的環路積分可作如下逼近：

(4)

若P是邊界結點，對應的D如圖5

所示，其中線段PA與PB落在邊界嬠Ω上，這時有

(5)

對於(5)中的

可用第二、第三類邊界條件代入。對於第一類邊界條件，

須作某種插值處理。

對(3)的右端，作逼近

(6)

上述各式中的｜·｜表示線段的長度或區域的面積。把(4)、(5)、(6)的逼近公式代入(3)，就得到差分方程組。對第二、第三類邊值問題，這種差分化途徑在處理上統一，所得差分方程組的係數矩陣具有對稱性。

從變分原理出發的差分化

平衡態或定常態的物理問題，往往可用變分原理表達，即表示為一個極小值問題。例如微分方程(1)的第一邊值問題，就等價於泛函

(7)

在滿足第一類邊界條件的容許函式集上的極小解問題。對於第二、第三類邊值問題，對應的泛函為

，　 (8)

而容許函式不必滿足任何邊界條件，第二、第三類邊界條件是極小解u自然滿足的。因此，也稱之為自然邊界或自由邊界問題。

從變分原理出發進行差分化，其步驟是先對區域Ω作網格剖分，然後對積分(7)或(8)進行差分逼近，得到一個有限和式，它是定義在網格結點上的差分解的二次函式，它的極小解可歸結為解線性方程組，此方程組的係數矩陣恆具有對稱性。

差分方程組的求解

隨著差分法的實際應用，產生了在計算機上求解高階稀疏矩陣問題的種種方法，其中最簡單而且常用的是點鬆弛法。對代數方程組

點鬆弛法的一般迭代格式是

n是迭代序號，

是任意給定的初始值，ω是迭代引數。當係數矩陣對稱正定時，取0<ω<2，則迭代恆收斂。當ω=1時，稱高斯-賽德爾迭代;當ω>1時，稱超鬆弛。對於五點格式的差分方程組(2)，存在一個最優的迭代引數

>1， 與 ω =1相比， 達到同樣精度的運算量從O(N 2)階降為O(N 3/2)階，N是網格點的總數。

差分方程組的求解，還有各種直接法和其他迭代法。直接法大多是高斯消去法的變形，其中心問題是如何採取適當的消去順序，使得在不影響解的精度的前提下，儘可能在運算量、存貯量及程式複雜性等方面得到好處或達到某種平衡。在迭代法方面，則還有切比雪夫迭代和共軛斜量法，它們也常作為加速手段與點鬆弛法結合使用。對於特殊形狀區域（如矩形域），則有高效的快速傅立葉變換方法和交替方向法。特別引人注目的是近年發展起來的多重網格法，其運量可達到O(N)階。