怎麼用向量證明餘弦定理

餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活．對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為A,B,C 滿足性質a^2=b^2 c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2 c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2 b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2 b^2-c^2)/2abCosB=(a^2 c^2-b^2)/2acCosA=(c^2 b^2-a^2)/2bc證明：如圖：∵a=b-c ∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2 c^2-2bc再拆開，得a^2=b^2 c^2-2*b*c*CosA同理可證其他，而下面的CosA=(c^2 b^2-a^2)/2bc就是將CosA移到右邊表示一下。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面幾何證法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據勾股定理可得：AC^2=AD^2 DC^2b^2=(sinB*c)^2 (a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2 a^2 cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B cos^2B)*c^2-2ac*cosB a^2b^2=c^2 a^2-2ac*cosBcosB=(c^2 a^2-b^2)/2ac從餘弦定理和餘弦函式的性質可以看出,如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方,那麼第三邊所對的角一定是直角,如果小於第三邊的平方,那麼第三邊所對的角是鈍角,如果大於第三邊,那麼第三邊所對的角是銳角.即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。