行列式的等價定義是什麼

1、行列式有很多等價定義。等價定義就是你可以拿其中一個作為定義，而另外的就是他的充分必要條件。我可以舉出三個。

2、第一個應該是大部分國內教材用的。用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2，。。。，pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序數。n階行列式的值等於對全部的排列p，（-1）^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。。。*a{n，pn}的和。

3、第二個是遞迴定義，一階行列式｜a｜=a，高階行列式按第一行展開，即行列式等於a｛1，k｝*A｛1，k｝對全部k=1，2，。。。，n求和。其中A｛1，k｝為a｛1，k｝的代數餘子式。可以證明這種定義可以推廣成按任意行或列展開且展開的值相等。

4、第三種是從性質入手定義。從上面兩個定義來看，行列式可以看成一個n^2個域F元素到域F上的函式。我們將每一列元素視為一個列向量，即向量空間F^n中的元素，那麼行列式是n個F^n中元素到F上的函式。我們可以這麼定義行列式：若F^n到F上的n元函式f是n重線性標準反對稱的，則f是域F上的行列式。這種定義其實就是從行列式性質（列按加拆，整列的係數可提出，單位矩陣行列式為1，交換列行列式乘-1）出發倒過來定義行列式，這個定義想要合法必須證明這樣的函式具有確定性、唯一性，具體證明就不寫了。利用這個定義是可以推出值等同於定義1，2的結果的，所以是等價定義。

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