什麼是傅立葉級數

一種特殊的三角級數。形如

　(1)

的級數，其中αn(n=0，1，2，…)和bn(n=1，2，…)是與x無關的實數，稱為三角級數。特別，當(1)中的係數αn，bn可通過某個函式ƒ(x)用下列公式表示時，級數(1)稱為ƒ的傅立葉級數：

　(2)

式中ƒ是週期2π的可積函式，即ƒ∈l1(-π，π)。此時，由公式(2)得到的係數αn，bn稱為ƒ的傅立葉係數。ƒ的傅立葉級數記為

。　(3)

當然，ƒ的傅立葉級數並不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂於ƒ(x)。假如已知三角級數一致收斂於ƒ(x)，即

，那麼雙方都乘以cosnx或sinnx後，在(－π，π)上可以逐項積分，由三角函式系的正交性，即得公式(2)。所以，如果三角級數(1)一致收斂於ƒ(x)，級數(1)必為ƒ的傅立葉級數。

問題往往是，給定函式ƒ，需要把它表示成三角級數(1)。J.-B.-J.傅立葉的建議是，利用公式(2)，求出ƒ的傅立葉係數αn，bn，就得到傅立葉級數(3)。可以證明，只要ƒ滿足一定的條件，那麼ƒ的傅立葉級數σ[ƒ]收斂於ƒ。

傅立葉級數的收斂判別法

常用的判別法有：

（1）迪尼判別法　對固定的點x，如有數s，使得函式φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π，π]上勒貝格可積，則σ[ƒ]在點x收斂於s。由此可知，當ƒ在點x連續，並滿足李普希茨條件，即

(0<u≤h)，那麼σ[ƒ]在x收斂於ƒ(x)，其中M ，h，α均為正數，且α≤1。另外，當ƒ(x)具有連續的導函式ƒ┡(x)時，σ[ƒ]一致收斂於ƒ(x)。

（2）狄利克雷－若爾當判別法　假設函式ƒ在含有點x的某區間，例如［x-h，x+h］上分段單調，則ƒ的傅立葉級數在點x收斂於(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。

上面提到的收斂判別法，對函式所提的要求，都是充分條件，並非必要的。關於收斂性判別法，還有幾種。值得注意的是，至今還沒有收斂的充分且必要的條件。

傅立葉級數的複數形式

三角級數(1)還可用指數函式來表示。事實上，

/2，

（叿n表示сn的共軛複數），那麼級數(1)可寫成複數形式

， 　(4)

這裡，(4)的部分和Sn理解為

。假如(1)是ƒ的傅立葉級數，那麼它的複數形式也是(4)，但係數

。　(5)

上式表達的сn稱為ƒ的復傅立葉係數，又稱ƒ的傅立葉係數的復形式。

傅立葉係數的重要性質

列舉下面兩條：

（1）若ƒ(x∈l(-π，π)，則ƒ的傅立葉係數αn，bn（或сn），當n→∞時趨於0，稱為黎曼-勒貝格定理。

（2）若ƒ(x∈l2(-π，π)，則有

。

這個等式稱為帕舍伐爾等式；反之假如{сk}是一列雙向的數列，滿足條件

，那麼必存在惟一的函式ƒ(x∈l2(-π，π)，它的傅立葉係數等於｛сk｝(k=0，±1，±2，…)。這個逆命題稱為里斯－費希爾定理。

三角級數與單位圓內解析函式的關係

設z=eix(0≤x<2π)是複平面單位圓周上的點，於是級數

　(6)

的實部就是三角級數(1)，虛部

　(7)

稱為三角級數(1)的共軛級數。假如(6)中的z表示單位圓內的點，即z=reix(0≤r<1)，那麼(6)就是復變數z=reix的冪級數，當它收斂時，其和函式是單位圓內的解析函式。所以三角級數(1)可以看做單位圓內解析函式邊界值的實部。

多元三角級數與多元傅立葉級數

設

為m 維歐氏空間Rm的點，級數

　(8)

稱為m元三角級數，其中

，而n1，n2，…，nm為整數。假如ƒ(x)＝ƒ(x1，x2，…，xm)關於每個變數xi(1≤i≤m)都是週期為2π的周期函式，且在立方體

Q:-π ≤xj≤π　(j=1，2，…，m)　(9)

上，ƒ是勒貝格可積的。類似於(5)，如果(8)中係數

那麼稱(8)為ƒ的傅立葉級數，並記為

多元傅立葉係數也有類似於一元傅立葉係數的許多性質，但多元三角級數與多元傅立葉級數的許多問題，卻遠較一元複雜。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的惟一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯-博赫納球形平均的許多特性。

傅立葉級數在數學物理以及工程中都具有重要的應用。

參考書目

A. Zygmund，Trigonometric Series，Vol. 1～2， Cambridge s，Cambridge，1959.