什麼是傅立葉光學

是把通訊理論特別是其中的傅立葉分析方法引入光學所形成的一個分支。一個光學資訊系統和一個電學資訊系統有許多相同之處，它們都是收集資訊和傳遞資訊，它們都有共同的數學工具──線性系統理論和傅立葉分析。從資訊理論角度，關心的是資訊在系統中傳遞過程;同樣，對一個光學系統來講，物和像的關係，也可以根據標量衍射理論由系統中光場的傳播來確定，因此光學系統可以看成一個通訊通道。這樣，通訊理論中已經成熟的線性系統理論可以用來描述大部分光學系統。當物體用非相干光照射時，在系統像平面上強度分佈與物體上強度分佈成線性（正比）關係。而用來描述電學系統的脈衝響應h(t，τ)概念，即系統對一窄脈衝δ(t)（狄喇克 δ函式）的響應，也可以用來描述光學系統，即用光學系統對點光源δ(x，y)的響應(點光源的像)h(x，y；ξ，η)來描述系統的性質，兩者的區別僅僅在於電學系統的脈衝響應是時間一維函式，光學系統的脈衝函式是空間二維函式，另外兩者都具有位移不變性，前者分佈不隨時間位移而變，後者分佈不隨空間位移而變（即等暈條件）。光學系統的脈衝響應又稱點擴充套件函式（見光學傳遞函式）。一旦系統的點擴充套件函式已知，系統對任意物體f(x，y)所成的像g(ξ，η)可以從物體上每個點源產生的點擴充套件函式的線性疊加求得

。

在空間位移不變情況下，疊加積分又可簡化為卷積

。

空間頻率

在資訊理論中，還常用頻率響應概念，即輸入各種不同頻率的訊號，觀察系統相應的輸出，從頻率響應曲線可以瞭解系統對各種頻率的傳遞情況。在光學系統中同樣可以引入頻率響應的概念，所不同的是瞬時頻率響應由空間頻率響應所代替。與瞬時頻率是時間函式acosωt週期的倒數

一樣，可以定義空間函式的週期d的倒數v=1/d(單位：線／毫米)為空間頻率。以最簡單的物體──光柵──為例，可用函式1+Acos(2πvx)表示，其中v＝1/d，d是光柵常數。

根據傅立葉分析，任意複雜物體f(x，y)可寫成傅立葉變換關係式

，

式中F(vx，vy)是物體的空間頻譜，

。其物理意義是把複雜f(x，y)分解成許多簡單基元函式

的線性組合， 而空間頻譜F(vx，vy)只不過是一個權重因子，把它加到各自基元函式上。基元函式可更形象地看成是一些不同取向〔θ=tg-1(vy/vx)〕、不同空間週期L=

的光柵（圖1），而每一個這種光柵在物函式中所佔比重用權重因子──空間頻譜F(vx，vy)所定。這樣，一個光學系統對f(x，y)的響應可分解為對各個基元函式的響應，再把每個響應疊加起來，便得到總的響應。同樣，可以寫出逆變換

。

對已知物體f(x，y)可以算出它的空間頻譜分佈。

透鏡的傅立葉變換性質

從標量衍射理論知道，考慮旁軸近似條件，在菲涅耳衍射（近場）區內，孔徑平面(x，y)與觀察平面(ξ，η)上光場之間的關係為

稱為菲涅耳變換。式中f(x，y) 是衍射孔徑平面上光場振幅，g(ξ，η)是觀察平面上的光場振幅，с是常數位相因子，u＝2πξ/λz，υ＝2πη/λz是空間角頻率，z是平面之間距離。由上式可見

互為傅立葉變換關係，其中

是二次相位因子。當觀察平面遠離孔徑平面時，即

，上式變為夫琅和費衍射(遠場)。此時衍射影象 g(ξ，η)為孔徑平面中光場分佈f(x，y)的傅立葉變換，或稱為f(x，y)的空間頻譜。有趣的是一個薄凸透鏡的透過率函式

(其中 f為透鏡的焦距)正好與菲涅耳衍射中二次相位因子抵消，結果在透鏡的後焦平面上光場分佈g(ξ，η)就變為 f(x，y)的傅立葉變換或空間頻譜。這時空間角頻率u＝2πξ/λf，υ＝2πη/λf，當入射光波波長λ和透鏡焦距f不變時，空間頻率vx＝ξ/λf，vy＝η/λf分別與後焦面上空間座標ξ，η成比例。由此可見，凸透鏡的作用就是把遠處的夫琅和費衍射圖樣拉近到後焦面上。可以證明當孔徑平面放在透鏡的前焦面上時，常數相位因子消失，這時f(x，y)和g(ξ，η)之間有精確傅立葉變換關係(圖2)。

利用透鏡前後焦面上光場分佈互為傅立葉變換的關係，可以分析各種影象的空間頻譜，並對影象進行識別和分類，利用透鏡的傅立葉變換性質經空間濾波，可以使一個光學系統具有數學模擬運算能力，被稱為“光計算機”。

空間濾波

光學資訊處理、相干光處理、訊號處理、影象處理以及影象（或模式）識別等名稱都與相干光系統中空間頻率濾波有關。

利用凸透鏡後焦面上顯示物的夫琅和費衍射圖樣的有趣事實，以及在透鏡的前後焦面上光場振幅互為傅立葉變換的關係，可用純光學方法十分方便地實現在數學上繁瑣的二維傅立葉積分運算。並把資訊理論中濾波概念引進到光學中，即不僅僅分析物的空間頻譜，還可通過濾波達到綜合的目的，與時間函式的頻譜可按某種方式來改變一樣，通過改變物函式的空間頻譜的方法以改變物的資訊含量。這種傅立葉綜合在近代光學中已取得重要進展的例子有澤爾尼克相襯顯微鏡、光學匹配濾波器、合成孔徑雷達資料的光學處理、各種影象增強技術、模糊影象恢復等。

其實空間濾波這個概念不是新的，1873年E.阿貝在顯微鏡成像理論中已經提出了此概念。1906年A.B.波特用來驗證阿貝理論的實驗就是最早空間濾波實驗。20世紀50年代法國P. -M.迪費歐致力於把傅立葉積分應用於光學，A.馬雷夏爾通過振幅和相位濾波改善成像系統的傳遞函式，，使照片的質量得到了一定程度的改善（圖3）。他在這方面的成功引起了人們對光學資訊處理的濃厚興趣。60年代，由於鐳射器的出現，使相干光處理系統有了理想相干光源，空間濾波的研究工作得到了突飛猛進的發展。例如：掃描線和半色調網點的去除，反襯度增強、邊緣銳化、在相加性噪聲中提取週期訊號、像差平衡、資料互相關、匹配濾波(影象識別)、逆濾波（模糊影象恢復）等。

相干光處理系統如圖4所示。鐳射器輸出相干光經準直系統擴束後照明位於傅立葉透鏡L1的前焦面上的物函式，在後焦面上的光場是物函式的傅立葉頻譜，在此譜平面上放有振幅（光密度）或相位（光程）變化，或兩者都變化的空間濾波器，以改變物函式的傅立葉頻譜成分，經空間濾波後的傅立葉頻譜由第二透鏡L2進行傅立葉逆變換，並在像面上形成一處理後的影象。

空間濾波器大致分為三類：振幅型、相位型和複數型。

最簡單的振幅型空間濾波器是低通、高通、帶通和方向濾波器等如圖5所示。在光密度上是二進位制，即只有透明不透明兩部分組成。利用低通濾波器可以去掉影象中的週期結構掃描線，因為影象頻譜一般集中在零頻周圍，而週期結構（掃描線）的頻譜是對稱於零頻的週期結構譜，用低通濾波器讓影象中零頻成分通過，又阻擋了週期結構譜，最後在像平面上顯示出消除了掃描線的影象。類似地，方向濾波器可以提取某一方向間隔中的影象資訊，因而在地質資料的處理中十分有效，圖6為方向濾波加低通濾波去掉掃描線的例子。圖7為去除印刷網點的例子。除此之外，振幅濾波器還可以根據需要用照相膠片，嚴格控制光密度得到連續密度變化的濾波器，這種濾波器在反襯度增強、微分運算中有用。

最著名的相位空間濾波器是澤爾尼克相襯顯微鏡中的移相板，一般相位濾波器用真空蒸發鍍膜方法，或感光膠片經漂白處理製成。

複數型空間濾波器是指濾波器的振幅和相位兩者都需要變化，可以分別製作振幅和相位濾波器，然後組成一個復型濾波器。還可用全息術方法來做，即在頻譜面上拍攝物函式的傅立葉全息圖，它不僅記錄了頻譜的振幅，還記錄了頻譜的相位。用全息術製作復型空間濾波器是對光學資訊處理的極大促進，利用全息濾波器可以進行匹配濾波、圖形相關、模糊影象處理（見圖7）、像差平衡等。

參考書目

J.W.顧德門著，詹達三等譯：《傅立葉光學導論》，科學出版社，北京，1976。(J.W. Goodman，Introduction to Fourier Optics，McGraw-Hill， New York， 1968.)