什麼是伊辛模型

描述物質相變的一種模型。物質經過相變，要出現新的結構和物性。發生相變的系統一般是在分子之間有較強相互作用的系統，又稱合作系統。

在鐵和鎳這類金屬中，當溫度低於居里溫度（見鐵磁性）時，原子的自旋自發地傾向某個方向，而產生巨集觀磁矩。溫度高於居里溫度時，自旋的取向非常紊亂，因而不產生淨磁矩。當溫度從大於或小於兩邊趨於居里溫度時，金屬的比熱容趨於無限大。這是物質在鐵磁性狀態和非鐵磁性狀態之間的相變，它並不包含在P.厄任費斯脫所分類的相變中。伊辛模型就是模擬鐵磁性物質的結構，解釋這類相變現象的一種粗略的模型。它的優點在於，用統計物理方法，對二維情形求得了數學上嚴格的解。這就使得鐵磁性物質相變的大致特徵，獲得了理論上的描述。

這個模型所研究的系統是由N個陣點排列成n維週期性點陣，這裡n=1，2，3。點陣的幾何結構可以是立方的或六角形的，每個陣點上都賦予一個取值+1或－1的自旋變數si，如果si＝+1，即第i個陣點的自旋向上；如si＝-1，即第i個陣點的自旋向下。並且認為只是最近鄰的自旋之間有相互作用。點陣的位形用一組自旋變數{si}（i＝1，2，…，N）來確定。圖1是一個二維伊辛模型的示意圖，圖中挋表示自旋向上，挌表示自旋向下。

處理方法

20世紀30年代初，不少科學家如W.L.布喇格、E.J.威廉斯、H.A.貝特、R.E.佩爾斯等人就已從有序－無序轉變問題及點陣氣體等模型出發，採用平均場近似法處理伊辛模型。

布喇格－威廉斯平均場近似法認為，某一陣點上的自旋取某一方向的機率同近鄰陣點上的自旋取向無關，只同自旋在該方向的數目成正比。每個陣點上有一平均磁場，自旋在陣點上的取向只同該磁場有關。用這種方法可求得下列公式

式中μ是每個自旋的磁矩，n┡是每一陣點的最近鄰數，H是外磁場強度，T是熱力學溫度，ε是自旋同向的最近鄰對之間的相互作用能（鐵磁性物質ε＜0，非鐵磁性物質ε＞0），k是玻耳茲曼常數，m是每個自旋上的磁化強度，可表示為

，其中N是總陣點數，

、

分別代表自旋向上和向下的總陣點數，顯然

+

=N。

由此研究鐵磁性物質的性質，得到如下結論：存在一臨界溫度

，當T＞Tc而H＝0時，物質不磁化，沒有相變；當T＜Tc時，儘管仍有H=0，但磁化強度m可不為零（可取正值或負值），鐵磁性物質存在相變。這個結論對一維、二維、三維點陣都應成立，但嚴格的證明指出，二維、三維伊辛模型在臨界溫度以上仍有相變。這反映了平均場近似法的簡單、粗糙。當然，用它處理臨界溫度以下鐵磁性物質的相變，仍是一種有意義的方法。

20世紀40年代L.昂薩格對伊辛模型採用解析法得到了嚴格解，作出了突出的成就。這種方法的基本點，是設每個陣點的自旋變數可取+1和－1兩個值，考慮陣點上自旋的某個位形，計算每個自旋同最近鄰自旋的相互作用能量以及同外磁場相互作用能量，再對全部可能的位形求和，用矩陣的方法求出配分函式，從而得到各個熱力學函式。

一維情況

考慮具有N個自旋的直線鏈（圖2所示），每個自旋僅同它的兩個最近鄰自旋及外磁場相互作用。相互作用的總能量即由{s0，s1，s2，…，sN-1}所確定的位形能量是

，式中

是對最近鄰自旋對求和，

表示對所有自旋座標求和。配分函式可寫作

定義一個2×2矩陣p1，它的矩陣元是

，因為s0=±1，s1=±1，故矩陣p1可表示為

如果採用週期性邊界條件sN＝s0，或設想將直線鏈彎成閉合的圓鏈，並將初端與尾端相接(圖3)，配分函式ZI可表示成矩陣形式

，式中tr表示矩陣的跡，它是

的對角元之和。由此計算可以求出ZI，對於N 很大的鏈，則有

。磁化強度是

，

m(T，H)同μH的關係如圖 4所示。當H→0時，對於T＞0，有m(T，0)＝0。可見，一維伊辛模型沒有自發磁化即不顯示鐵磁性，因而不發生相變。

在一維伊辛模型中，不論鐵磁性或反鐵磁性，都不會實現有序的狀態。如對於ε＜0的鐵磁性物質，在絕對零度時，所有自旋取向都是相同的，此時，處於能量最低的狀態。然而，如果熱力學溫度不等於零，是有限的，則平均位形由兩種相反的、相互競爭的趨向所決定。一個是各個自旋的取向完全一致，使能量最低；另一個是各個自旋的取向為隨機的，使熵最大。由於一維伊辛模型中每個自旋沒有足夠多的最近鄰自旋，因而不可能出現所有自旋取向完全相同的情況，而是如圖5所示。

二維情況

（昂薩格解）　二維伊辛點陣的陣點數為L×n=N，為便於計算，畫成圖6所示的情形。處理二維空間問題的方法與一維的類似，只需將一維的每個陣點當作一列，並逐列相加求和即可。

以Sl表示第l行的所有自旋座標的集合

上標l(l=1，2，…，L)代表行，下標(1，2，…，n)代表列。邊界條件為

。即要求每一行的第n+1列的位形與第1列的相同，每一

，Sl有2n個值。整個點陣的位形由 {S1，S2，…，SL}確定。考慮最近鄰自旋對以及自旋同外磁場的相互作用，則配分函式可寫成

為將上式表示成矩陣的形式，引入三個矩陣V1、V2、V3，它們的矩陣元分別定義為

第一式反映不同行最近鄰自旋對的相互作用能量，它有2n×2n個；第二式反映同一行最近鄰自旋對的相互作用能量，它有2n個；第三式反映同一行各個自旋與外磁場的相互作用能量，它也有2n個。為了計算方便，在補上一些“0”元素後，可把V2、V3擴大成2n×2n矩陣的對角矩陣。可以證明

Z1＝tr(V1V2V3)L。當L→∞時，求L×n矩陣的本徵值問題就變成求解2n×2n矩陣的本徵值問題。H.A.克喇末和G.H.萬尼爾等人曾用數字解計算過有限的幾項，他們計算到n=5，發現在n為有限的情形下，沒有相變。

昂薩格在求解時，設外磁場強度H=0，因而V3=1。計算結果表明：高溫時，T＞Tc(臨界溫度)，矩陣V＝V1V2只有一個最大本徵值υ+；低溫時，T＜Tc，矩陣V=V1V2有兩個本徵值，當n→∞，L→∞時，配分函式為

並得出平均每個自旋的自由能f為

若令

，則上式右邊第二項被積函式 θ(v)滿足 chθ(v)＝ch2βch2β'cosvsh2βsh2β┡。用數值計算，通過上述二式可算出T→Tc時的各個熱力學量，得到以下具體結果，

-f＝-fc＝kTc(0.9296…)，

S＝-Sc＝kln(1.358)。其中S為每個自旋的熵。式中的臨界溫度Tc滿足方程

或－kTc=2.269185ε。在Tc附近，每個自旋的比熱容可表示為

可見在 T＝Tc時，自由能、熵以及內能是連續的，這意味著在 T＝Tc時，發生的相變不包含潛熱。但是當

時，作為上述熱力學函式的導數，比熱容是對數發散的，無論從高溫端還是低溫端趨於Tc(即T→Tc+0或T→Tc-0)，比熱容с的值是相同的。圖7給出了比熱容隨溫度變化的曲線，並且同時畫出了布喇格—威廉斯平均場近似法所得結果的曲線（圖中虛線），以作比較。

為弄清T=Tc處相變的細節，還需進一步考慮自發磁化（即計算自由能對磁場強度H的導數，再讓H=0）。楊振寧於1952年採用微擾法得到了很好的結果。他證明自發磁化強度m(0，T)可表為

式中

對應於Tc的值為

，自發磁化強度隨溫度變化的曲線如圖8所示。

至於存在外磁場的情形，以及三維空間的解析解，雖經許多理論物理學家多年的工作，但至今還未取得令人滿意的結果。

參考書目

Kerson Huang，Statistical Mechanics，John Wiley & Sons，New York， London， 1963.