特徵值與特徵向量

1、特徵值是線性代數中的重要概念，設A是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個特徵值或本徵值。

2、非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量。

3、兩種有著密切關係：屬於不同特徵值的特徵向量一定線性無關，相似矩陣有相同的特徵多項式，因而有相同的特徵值。

特徵值和特徵向量是什麼意思？

特徵值是指設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值或本徵值。

線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡併的向量，其方向在該變換下不變。

一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。“特徵”一詞來自德語的eigen。

1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定於……的”、“有特徵的”、或者“個體的”，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要性。

求特徵值

描述正方形矩陣的特徵值的重要工具是特徵多項式，λ是A的特徵值等價於線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個特徵向量)，因此等價於行列式|A – λI|=0。

函式p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式，因為行列式定義為一些乘積的和，這就是A的特徵多項式。矩陣的特徵值也就是其特徵多項式的零點。

一個矩陣A的特徵值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個n×n矩陣，則pA為n次多項式，因而A最多有n個特徵值。 反過來，代數基本定理說這個方程剛好有n個根，如果重根也計算在內的話。

所有奇數次的多項式必有一個實數根，因此對於奇數n，每個實矩陣至少有一個實特徵值。在實矩陣的情形，對於偶數或奇數的n，非實數特徵值成共軛對出現。

特徵值與特徵向量之間有什麼關係

特徵值與特徵向量之間關係：

1、屬於不同特徵值的特徵向量一定線性無關。

2、相似矩陣有相同的特徵多項式，因而有相同的特徵值。

3、設x是矩陣a的屬於特徵值1的特徵向量，且a~b，即存在滿秩矩陣p使b=p(-1)ap，則y=p(-1)x是矩陣b的屬於特徵值1的特徵向量。

4、n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有n個線性無關的分別屬於特徵值1，2，3...的特徵向量（1，2，3...中可以有相同的值）。

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立。

擴充套件資料：

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組。

若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量。

線性變換的主特徵向量是最大特徵值對應的特徵向量。特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特徵值的集合。

參考資料來源：百度百科——特徵值

參考資料來源：百度百科——特徵向量

什麼是特徵值和特徵向量

特徵向量是一個非簡併的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。

特徵值是線性代數中的一個重要概念。

線性變換通常可以用其特徵值和特徵向量來完全描述。特徵空間是一組特徵值相同的特徵向量。“特徵”一詞來自德語的eigen。

希爾伯特在1904年第一次用這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定於……的”、“有特徵的”、或者“個體的”，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要性。

擴充套件資料：

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是（其中是不全為零的任意實數）。

參考資料來源：搜狗百科-特徵值

參考資料來源：搜狗百科-特徵向量

特徵值與特徵向量是什麼？

特徵值和特徵向量是數學概念。

若σ是線性空間V的線性變換，σ對V中某非零向量x的作用是伸縮：σ（x）=aζ，則稱x是σ的屬於a的特徵向量，a稱為σ的特徵值。

位似變換σk（即對V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均為特徵向量，它們同屬特徵值k；而旋轉角θ（0<θ<π）的變換沒有特徵向量。可以通過矩陣表示求線性變換的特徵值、特徵向量。

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式。

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值。

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組。

的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是，（其中是不全為零的任意實數）。

特徵值和特徵向量的關係是什麼？

特徵值與特徵向量之間關係：

1、屬於不同特徵值的特徵向量一定線性無關。

2、相似矩陣有相同的特徵多項式，因而有相同的特徵值。

3、設x是矩陣a的屬於特徵值1的特徵向量，且a~b，即存在滿秩矩陣p使b=p(-1)ap，則y=p(-1)x是矩陣b的屬於特徵值1的特徵向量。

4、n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有n個線性無關的分別屬於特徵值1，2，3…的特徵向量（1，2，3…中可以有相同的值）。

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設A是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得Ax=mx成立。

意義：

從線性空間的角度看，在一個定義了內積的線性空間裡，對一個N階對稱方陣進行特徵分解，就是產生了該空間的N個標準正交基，然後把矩陣投影到這N個基上。

N個特徵向量就是N個標準正交基，而特徵值的模則代表矩陣在每個基上的投影長度。特徵值越大，說明矩陣在對應的特徵向量上的方差越大，功率越大，資訊量越多。

應用到最優化中，意思就是對於R的二次型，自變數在這個方向上變化的時候，對函式值的影響最大，也就是該方向上的方向導數最大。