二重積分的幾何意義

二元函數在空間上的積分。

同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有着廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。

平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。在空間直角座標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。

某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

定積分的幾何意義是曲邊梯形的有向面積,物理意義是變速直線運動的路程或變力所做的功。二重積分的幾何意義是曲頂柱體的有向體積,物理意義是加在平面面積上壓力（壓強可變）。三重積分的幾何意義和物理意義都認為是不均勻的空間物體的質量。

設二元函數z=f（x，y）定義在有界閉區域D上，將區域D任意分成n個子域 ，並以 表示第 個子域的面積。在 上任取一點 作和 。如果當各個子域的直徑中的最大值 趨於零時，此和式的極限存在，且該極限值與區域D的分法及的取法無關，則稱此極限為函數 在區域 上的二重積分，記為 ，即 。

這時，稱 在 上可積，其中 稱被積函數， 稱為被積表達式， 稱為面積元素， 稱為積分區域， 稱為二重積分號。

同時二重積分有着廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。

性質1 （積分可加性） 函數和（差）的二重積分等於各函數二重積分的和（差），即

性質2 （積分滿足數乘） 被積函數的常係數因子可以提到積分號外，即

(k為常數）

比較性

性質3 如果在區域D上有f(x,y)≦g(x,y)，則

估值性

性質4 設M和m分別是函數f(x,y)在有界閉區域D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積，

則

性質5 如果在有界閉區域D上f(x,y)=k（k為常數)，σ為D的面積，則Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重積分中值定理

設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得