空集是比較煩人的東西,按照定義,空集就是沒有元素的集合,卻到處都有他的影子。自己啥都沒有,還無處不在,夠煩人的。集合論裡有一個早就熟知的論斷:空集是任何集合的子集。
1、今天就來挖掘這句話裡麵包含的含義。
2、說明一點,個人相對於”命題“一詞而言,更傾心於”論斷“一詞。
3、這裡的”論斷“一詞就是中學數學裡的”命題“一詞。
4、 我當初理解這個論斷,是藉助於集合運算的一個性質: A∩∅=∅………………………………① 因為在B不是空集的時候,若A∩B=B,則B是A的子集,所以以此類推空集是任何集合的子集,而要證明①式,只需要利用交集的定義即可,由此就變得順其自然。
5、不過若我們考慮子集的定義,發現這裡面還是有東西可挖的。
6、 B是A的子集,當且僅當若x∈B,則x∈A。
7、(順便說說,沒辦法在網頁上直接輸入包含符號真的很麻煩) 現在我們用來審視”空集是任何集合的子集”這句話: ∅是A的子集↔若x∈∅,則x∈A。
8、 要讓左邊成立,必須讓右邊是個真論斷,那麼右邊是對還是錯?有些人說這對,有的人說是錯。
9、我們要看到,右邊是一個“若p則q”形式的論斷,而這裡的p是一個假論斷,也就是其條件本身就是假的,自然我們就無法斷定q的真假,不過我們可以根據逆否論斷的觀點來看這個問題: 若x∈∅,則x∈A↔若x∉A,則x∉∅ 我們知道,右邊論斷的真假性與左邊論斷的真假性是一致的。
10、而右邊正確不?顯然,不管是在什麼情況下,x∉∅總是成立的,由此斷定論斷“若x∉A,則x∉∅”是一個真論斷,那麼“若x∈∅,則x∈A”也是一個真論斷,從而“∅是A的子集”也是一個真論斷。
11、 就像上面的例子一樣,考慮論斷r:“若p則q”,如果假設p本身就是假,則論斷r一定為真。
12、當假設在任何情況下也不成立,這樣的論斷我們就稱之為”虛真論斷“。
13、我們可以用逆否論斷的觀點來證明: 若p則q↔若非q則非p。
14、 由於p為假,所以非p一定為真,也就是為真,由逆否論斷與原論斷真假性一致的性質,得出論斷”若p則q,其中p為假“為真論斷。
15、 所以,我們的”空集是任何集合的子集“這句話,其實就是”虛真論斷“的一個案例。
16、 由虛真論斷的觀點,可以得到更加有趣的東西。
17、我們知道,兩個空集的交集與並集是空集,那麼你是否想過這個問題?現在考慮一個比空集還要空的問題:兩個根本就不存在的集合的交集與並集是什麼呢?說起來還有點繞口,這就是我們數學上的”集族“概念,不要覺得這個多高深,所謂集族,就是當一個集合的元素也是集合的時候,這個集合就稱之為集族,明天我們就介紹這個很有意思的問題。